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函數壓軸題，由零點個數求參數，建議各層次高中學生認真研究；高中數學精選疑難答疑第2條。給出函數的零點個數，求參數的取值范圍，這類題型本比較常見，之所以把這道題精選出來答疑，是因為它是這類題型中比較特殊的一類：難度較高，有代表性。解決本題所需要的知識點并不多，只要學過高一數學中的各種基本函數的圖像和性質就夠了。它重點考察的是靈活分析問題的能力，平時不注重總結，沒有獨立思考和解決問題習慣的人，很難完整地把它做出來。本題如果出現在高考數學卷中，會以壓軸題的形式出現，函數零點個數問題也是高考數學重點考察的知識點，所以不論你數學成績如何，希望能認真研究下面的解析過程，特別是其中包含的分析問題和解決問題的思維方式。最容易想到的方法是，先求出f/(x/)－g/(x/)的表達式，然后再分析何時有3個零點，如下，這是一個分段函數，面對如此復雜的兩個函數表達式，可以想象，研究它的零點個數會是一件多么令人崩潰的事情，不管有沒有好的方法繼續往下做，在高考考場上，如果是我，我會立即放棄這種思考問題的方式。現在咱們從頭觀察題中的各個條件：f/(x/)是一個分段函數，它是由兩個函數構成的，一個是指數函數，另一個是二次函數，g/(x/)是一個一次函數，這3個函數都是基本初等函數，它們的圖像咱們都可以很容易地畫出來，所以考慮使用數形結合的方法來解題。首先畫出函數f/(x/)的圖像，x＝1是分段函數中兩個函數定義域的分界點，最好先把x＝1分別代入兩個函數表達式，求出這2個函數圖像的分界點，容易求得這兩個點是同一個點，即下圖中的點A/(1,1//2/)。這說明分段函數f/(x/)的圖像是一條連續不中斷的圖像，點A的左側是指數函數圖像的一部分，右側是二次函數圖像的一部分，如下圖中的粗實線曲線。速畫函數圖像是基本功，必須熟練。函數y＝f/(x/)－g/(x/)恰有3個零點，等價于“函數f/(x/)和g/(x/)的圖像恰有3個交點”，下面根據圖像討論何時有3個交點。函數g/(x/)的圖像是一系列斜率都等于3//2的平行線，現在要進行的，就是找出這些平行線中，哪些直線與f/(x/)的圖像恰有3個交點。如圖，藍色直線是平行線中經過點A的直線，點A是一個關鍵點，因為如果把藍線向下平移，則直線y＝g/(x/)與拋物線有公共點，而與指數函數的圖像沒有公共點，直線與f/(x/)的圖像最多有2個交點，不可能有3個交點；只有當把藍色直線向上平移時，直線y＝g/(x/)與指數函數的圖像必定有1交點，同時有可能與拋物線（實線部分）有兩個交點，這樣才有可能湊夠3個交點。所以先要分析當直線y＝g/(x/)經過點A時，與拋物線（實線部分）有幾個交點。說明：直線與拋物線虛線部分不是f/(x/)圖像的一部分，所以一定要確定直線與拋物線實線部分的交點個數。如下，把經過A點的藍色直線的方程和拋物線方程聯立方程組，解得有兩個交點，其中一個是A點，另一個交點的橫坐標是3//2大于1，故這2個交點都在拋物線實線部分上。從上面的分析可知：當直線經過A點時，直線與拋物線實線部分有2個交點。現在只需把藍色直線“稍稍”向上平移一點兒，就能使直線既與拋物線實線部分有2個交點，又與指數函數圖像有1個交點，這樣一來就滿足了 “3個交點”的題意。接下來要討論的是，藍色直線向上平移多少可以保證“恰有3個交點”。如圖，黑色直線是當直線y＝g/(x/)與拋物線相切時的直線，則黑色直線和藍色直線之間的直線都是滿足題意的直線。總結：當討論函數零點個數時，如果所有函數的圖像都可以畫出來，那么要優先考慮使用數形結合來解決問題。溫馨提醒：公眾號菜單處可以查看分好類的課程。

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